Сложный процент означает, что начисленное за месяц или год оставляют работать вместе с исходными деньгами. В следующий раз ставку применяют уже к увеличенной базе, поэтому каждая новая прибавка немного крупнее предыдущей. Отсюда бытовое выражение «проценты на проценты».
На коротком отрезке отличие от обычного, простого процента почти не видно. Возьмите 100 000 ₽ и ставку 9% с ежегодным начислением. Через 12 месяцев на счёте окажется 109 000 ₽ и при простой, и при сложной схеме.
Через 10 лет сложный процент даст 236 736 ₽, а простой 190 000 ₽. Через 30 лет счёт уже 1 326 768 ₽ против 370 000 ₽. Заметной разница становится только на длинном сроке.
Дальше разобраны формула, таблица роста, расчёт в Excel, правило 72, вклады и долги. Ближе к концу собраны 10 задач на сложные проценты с решением и лист для печати. Системно разобраться в деньгах помогает раздел курсов по инвестициям и личным финансам в каталоге Edlist. В нём есть и курсы по трейдингу и криптовалютам. Это инструменты с высоким риском, к теме статьи они не относятся.
Коротко
- При сложной схеме база для начисления растёт вместе с заработанным, при простой остаётся прежней.
- Многое решает срок. За год-два выигрыш небольшой, за десятилетия многократный.
- Частая капитализация немного поднимает фактическую доходность.
- Ниже есть формула, таблица множителей, калькулятор и 10 задач с решением.
График построен для 100 000 ₽ и ставки 9%. Пунктиром показана простая схема, а сплошной линией сложная с ежегодным начислением. Это математическая иллюстрация, не прогноз доходности.
- Процентная ставка: доля вложенных денег, которая начисляется за год. Например, 9% годовых со 100 000 ₽ означают 9 000 ₽.
- Простой процент всё время начисляется на одну и ту же базу, потому что заработанное забирают или держат отдельно.
- Капитализация: момент, когда заработанное добавляют к вкладу, и база для следующего начисления становится больше.
- Эффективная ставка отражает фактический годовой прирост с учётом капитализации. При 9% годовых и ежемесячном начислении она равна 9,38%.
- Реинвестирование: ситуация, когда доход от вложений (купоны облигаций, дивиденды) снова вкладывают.
- Ключевая ставка служит базовым ориентиром Банка России, от неё зависят условия по вкладам и кредитам.
- Реальная доходность показывает прирост денег за вычетом инфляции, то есть рост покупательной способности.
Что такое сложный процент простыми словами
Возьмём те же 100 000 ₽ и ставку 9% и не будем снимать доход со счёта. Через 12 месяцев начислят 9 000 ₽, на счёте станет 109 000 ₽. За второй год 9% считаются уже от 109 000 ₽ и дают 9 810 ₽, итог 118 810 ₽. В третий год начислят 10 692,90 ₽, и сумма вырастет до 129 502,90 ₽.
При простом проценте доход каждый год одинаковый, 9 000 ₽. За три года это 27 000 ₽, а сложная схема дала 29 502,90 ₽. Разница в 2 502,90 ₽ и есть «проценты на проценты». На длинном сроке они обгоняют доход от исходной суммы. Через 30 лет из 1 226 768 ₽ дохода на исходные 100 000 ₽ приходится только 270 000 ₽.
Сложный процент описывает правило расчёта, отдельной ставки он не требует. Те же 9% годовых приносят меньше, если заработанное каждый раз снимают, и больше, если его оставляют на счёте. В учебниках финансовой математики для этого различают простую и сложную процентную ставку.
Где встречается сложный процент:
- вклады с капитализацией и накопительные счета, где начисления зачисляют на тот же счёт;
- инвестиции, если доход от облигаций и акций снова вкладывают;
- инфляция, ведь цены каждый год растут от уже выросшего уровня;
- школьные задачи на сложные проценты, например о росте численности населения, цены товара или суммы вклада.
Кто придумал сложный процент и при чём тут Эйнштейн
Задачи о росте долга и займах разбирали ещё средневековые математики. В «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи, по разбору экономиста Уильяма Гётцманна (William Goetzmann) в работе для NBER, есть задачи на проценты по займам и сравнение денежных потоков во времени.
В 1683 году Якоб Бернулли, как пишет архив истории математики MacTutor, разбирал непрерывное начисление сложных процентов и искал предел выражения (1 + 1/n)n при бесконечно большом n. Этот предел сегодня известен как число e ≈ 2,718.
Альберту Эйнштейну часто приписывают слова о сложном проценте, например «величайшее изобретение человечества» или «восьмое чудо света». Исследователь цитат Quote Investigator проверял версию про «величайшее изобретение» и не нашёл подтверждения, что её автор Эйнштейн. Самое раннее найденное упоминание с его именем появилось в заметке Хастингса Кита с подзаголовком «Letter From a Pensioner» («Письмо пенсионера») в The Wall Street Journal от 25 августа 1976 года, через 21 год после смерти учёного. Сама мысль о сложном проценте как о величайшем изобретении встречалась ещё в американской газетной рекламе 1916 года. Версию про «восьмое чудо света» эта проверка не разбирала, но и надёжного источника, где её произносит Эйнштейн, мы не нашли, поэтому цитатой учёного её считать не стоит.
Простые и сложные проценты: в чём разница
Простой процент считается по формуле S = P × (1 + r × t). Капитал прирастает на одну и ту же величину, график получается прямой линией. Сложный процент растёт по формуле со степенью, и линия загибается вверх. Ниже рост той же суммы тремя способами.
| Срок | Простой процент | Сложный, раз в год | Сложный, ежемесячно |
|---|---|---|---|
| 1 год | 109 000 ₽ | 109 000 ₽ | 109 381 ₽ |
| 2 года | 118 000 ₽ | 118 810 ₽ | 119 641 ₽ |
| 3 года | 127 000 ₽ | 129 503 ₽ | 130 865 ₽ |
| 5 лет | 145 000 ₽ | 153 862 ₽ | 156 568 ₽ |
| 10 лет | 190 000 ₽ | 236 736 ₽ | 245 136 ₽ |
| 15 лет | 235 000 ₽ | 364 248 ₽ | 383 804 ₽ |
| 20 лет | 280 000 ₽ | 560 441 ₽ | 600 915 ₽ |
| 30 лет | 370 000 ₽ | 1 326 768 ₽ | 1 473 058 ₽ |
Значения округлены до рубля. Это расчёт по формуле при неизменных условиях. В жизни доходность меняется, вклады обычно открывают на срок до нескольких лет, а с процентов сверх необлагаемого лимита удерживается налог.
По таблице видно три вещи. На старте обе схемы с ежегодным начислением совпадают. Разрыв составляет 8 862 ₽ за 5 лет, 46 736 ₽ за 10 лет и 956 768 ₽ за 30 лет, то есть растёт с ускорением. Ежемесячная капитализация добавляет ещё немного сверху.
Простая схема удобна, если доход нужен регулярно, например его забирают каждый месяц на расходы. Капитализации тогда нет, и это нормальный выбор. Для заёмщика простая схема выгоднее, потому что долг растёт медленнее. Сложная схема даёт больше тому, кто не снимает накопленное много лет.
| Признак | Простой процент | Сложный процент |
|---|---|---|
| На что начисляется | только на исходную сумму | на сумму вместе с прошлыми процентами |
| Формула | S = P × (1 + r × t) | S = P × (1 + r/n)n×t |
| Вид роста | равномерный, прямая линия | ускоряющийся, кривая вверх |
| Где встречается | вклад с выплатой процентов на карту, проценты по обычному займу | вклад с капитализацией, реинвестирование, инфляция |
Формула сложного процента и что означает каждая буква
Общая формула сложного процента записывается как S = P × (1 + r/n)n×t.
- S: сколько окажется на счёте в конце срока;
- P: сколько вложили в начале;
- r: ставка за год в виде десятичной дроби, например 12% превращаются в 0,12;
- n: сколько раз в год доход присоединяется к сумме (1 при ежегодной капитализации, 4 при ежеквартальной, 12 при ежемесячной);
- t: срок в годах.
Доход считается как S − P. Если начисление происходит раз в год, формула упрощается до S = P × (1 + r)t. В школьных учебниках алгебры за 10 класс её чаще пишут через ставку p в процентах и число периодов начисления k, тогда S = P × (1 + p/100)k. При ежегодном начислении k = t, и формулы совпадают.
Откуда берётся степень, легко увидеть по шагам. За первый год сумма умножается на (1 + r), за второй ещё раз на (1 + r), и так t раз подряд. Получается последовательность P, P × (1 + r), P × (1 + r)2, P × (1 + r)3… Это геометрическая прогрессия со знаменателем (1 + r), и формула сложного процента совпадает с формулой её члена с номером t + 1. В учебниках сложные проценты часто разбирают рядом с прогрессиями и показательной функцией.
Таблица множителей: калькулятор сложного процента без программ
Множитель (1 + r)t показывает, во сколько раз вырастут деньги при ежегодной капитализации. Найдите в таблице свою ставку и срок и умножьте вложения на число из ячейки. Например, для 300 000 ₽ под 8% на 10 лет получится 300 000 × 2,16 ≈ 648 000 ₽. Точный расчёт даёт 647 677,50 ₽, разница из-за округления множителя.
| Ставка | 1 год | 3 года | 5 лет | 10 лет | 20 лет | 30 лет |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4% | 1,04 | 1,12 | 1,22 | 1,48 | 2,19 | 3,24 |
| 6% | 1,06 | 1,19 | 1,34 | 1,79 | 3,21 | 5,74 |
| 8% | 1,08 | 1,26 | 1,47 | 2,16 | 4,66 | 10,06 |
| 10% | 1,10 | 1,33 | 1,61 | 2,59 | 6,73 | 17,45 |
| 12% | 1,12 | 1,40 | 1,76 | 3,11 | 9,65 | 29,96 |
| 14% | 1,14 | 1,48 | 1,93 | 3,71 | 13,74 | 50,95 |
| 16% | 1,16 | 1,56 | 2,10 | 4,41 | 19,46 | 85,85 |
| 20% | 1,20 | 1,73 | 2,49 | 6,19 | 38,34 | 237,38 |
Множители округлены до сотых и рассчитаны для ежегодной капитализации. Для ежемесячной удобнее формула или Excel (пример ниже).
Формула сложного процента с пополнением
Если в конце каждого периода добавлять одинаковый взнос A, к формуле прибавляется второе слагаемое, и она принимает вид S = P × (1 + i)N + A × ((1 + i)N − 1) / i. Здесь i означает ставку за один период, то есть r, делённую на n. Общее число периодов N = n × t. Пусть стартовой суммы нет, а каждый месяц откладывается 10 000 ₽ под 9% годовых с ежемесячной капитализацией.
| Срок | Внесено | Итог | Проценты | Доля процентов в итоге |
|---|---|---|---|---|
| 1 год | 120 000 ₽ | 125 076 ₽ | 5 076 ₽ | 4% |
| 5 лет | 600 000 ₽ | 754 241 ₽ | 154 241 ₽ | 20% |
| 10 лет | 1 200 000 ₽ | 1 935 143 ₽ | 735 143 ₽ | 38% |
| 20 лет | 2 400 000 ₽ | 6 678 869 ₽ | 4 278 869 ₽ | 64% |
| 30 лет | 3 600 000 ₽ | 18 307 435 ₽ | 14 707 435 ₽ | 80% |
Через год проценты составляют лишь 4% накоплений, а через 30 лет уже 80%.
Возьмём условный пример со ставкой 8% годовых, ежемесячной капитализацией и взносами в конце каждого месяца. Первый человек откладывает по 10 000 ₽ в месяц десять лет, а затем два десятилетия ничего не добавляет. Второй начинает на десять лет позже и вносит те же 10 000 ₽ все двадцать лет до той же даты.
Первый внёс 1 200 000 ₽ и получил 9 013 390 ₽, второй внёс 2 400 000 ₽ и получил 5 890 204 ₽. Ставка в обоих случаях условная, доходность на 30 лет вперёд никто не гарантирует.
Сложный процент в Excel и Google Таблицах
Формулу можно записать прямо в ячейку как =50000*(1+12%/12)^36, результат будет 71 538,44 ₽.
В русском Excel ту же задачу решает встроенная функция =БС(12%/12;36;0;-50000). Её аргументы по порядку означают ставку за период, число периодов, регулярный взнос и стартовый капитал. Минус перед суммой нужен, потому что Excel считает вложенные деньги расходом. В Google Таблицах работает английское имя функции, =FV(12%/12;36;0;-50000). В английской версии программ аргументы разделяются запятой. Чтобы считать быстрее, пригодятся клавиши и функции для ускорения работы в Excel.
Пример расчёта сложного процента по шагам
Пусть 50 000 ₽ положили под 12% годовых с ежемесячной капитализацией на 3 года. Сколько будет на счёте?
- Ставка за месяц равна 12% / 12 = 1%, в долях 0,01.
- Периодов будет 12 месяцев × 3 года = 36.
- Множитель равен 1,0136 ≈ 1,4307688.
- Итоговая сумма 50 000 × 1,4307688 ≈ 71 538,44 ₽.
- Доход составит 71 538,44 − 50 000 = 21 538,44 ₽.
| Момент | Сумма на счёте |
|---|---|
| Старт | 50 000,00 ₽ |
| Через 1 месяц | 50 500,00 ₽ |
| Через 2 месяца | 51 005,00 ₽ |
| Через 1 год | 56 341,25 ₽ |
| Через 2 года | 63 486,73 ₽ |
| Через 3 года | 71 538,44 ₽ |
Для сравнения, по простой схеме доход составил бы 50 000 × 0,12 × 3 = 18 000 ₽, а итог 68 000 ₽. При капитализации раз в год получилось бы 70 246,40 ₽. Итог при ежемесячном начислении на 3 538,44 ₽ больше, чем по простой схеме, и на 1 292,04 ₽ больше, чем при ежегодной капитализации. В реальном договоре банк может считать доход по фактическому числу дней, поэтому итог способен отличаться на несколько рублей. Точная схема начисления всегда написана в договоре.
Посчитать то же самое можно на обычном калькуляторе в телефоне. Введите 50 000, умножьте на 1,01 и нажимайте «=» ещё 35 раз, ведь во многих калькуляторах повторное нажатие повторяет последнее действие. Если кнопка так не работает, удобнее инженерный режим с возведением в степень. В нём 1,01 возводят в степень 36 и умножают результат на 50 000.
Калькулятор сложного процента онлайн
При ежемесячной капитализации калькулятор считает по тем же формулам, что и пример с пополнением выше. Для ежегодной, ежеквартальной и ежедневной капитализации действуют допущения, которые описаны под калькулятором. Подставьте свои условия, и результат с таблицей по годам обновятся сразу.
Итоговая сумма:
Всего внесено:
Начисленные проценты:
Для сравнения, итог при простом проценте без капитализации:
Эффективная годовая ставка:
| Год | Внесено | Итог | Проценты |
|---|
Калькулятор не загрузился? Рост вложений можно оценить по таблице множителей выше, по примеру расчёта по шагам или формулой в Excel.
Допущения: взносы поступают в конце каждого месяца, суммы округляются до рубля только при показе. При ежемесячной капитализации расчёт совпадает с формулой с пополнением. При капитализации раз в год и раз в квартал доход начисляется каждый месяц на остаток и присоединяется к сумме в конце периода, поэтому взнос, сделанный внутри периода, до его конца получает простой процент за оставшиеся месяцы. При ежедневной капитализации берётся 365 дней в году, а месяц считается равным 1/12 года; банк, который считает по календарным дням, может дать немного другой итог. Итог при простом проценте показан для сравнения. Доход на каждую сумму в нём считается с момента её внесения и к сумме не прибавляется. Кнопка «Скопировать результат» копирует итоговую сумму числом без пробелов. Расчёт иллюстративный, не прогноз доходности и не инвестиционная рекомендация; изменения ставок и налоги не учитываются. Про налог на проценты по вкладам рассказано в разделе о вкладах ниже.
Капитализация процентов: ежемесячно, ежеквартально или раз в год
Капитализацией называют момент, когда начисленный доход присоединяется к сумме. Чем чаще это происходит, тем раньше он сам начинает приносить доход. Эффективная доходность за год равна (1 + r/n)n − 1. Ниже та же сотня тысяч при той же ставке, но с разной частотой капитализации.
| Капитализация | Через 1 год | Эффективная ставка | Через 5 лет |
|---|---|---|---|
| раз в год | 109 000 ₽ | 9,00% | 153 862 ₽ |
| раз в полгода | 109 203 ₽ | 9,20% | 155 297 ₽ |
| раз в квартал | 109 308 ₽ | 9,31% | 156 051 ₽ |
| ежемесячно | 109 381 ₽ | 9,38% | 156 568 ₽ |
| ежедневно (365 раз) | 109 416 ₽ | 9,42% | 156 823 ₽ |
Переход от ежегодного начисления к ежемесячному добавляет 0,38 процентного пункта к эффективной доходности. Переход от ежемесячной к ежедневной добавляет ещё 0,04 пункта, а более частое начисление почти ничего не меняет. Если начислять доход непрерывно, формула принимает вид S = P × er×t, и через год было бы 109 417 ₽. Это тот же предел, который изучал Бернулли, только для ставки 9%.
Отсюда два вывода. Сравнивать вклады удобнее по эффективной ставке. Например, 9% с ежемесячным начислением и 9,38% с начислением раз в год дают почти одинаковый результат, 109 381 ₽ и 109 380 ₽. Второй вывод касается выплаты процентов на карту. Если доход выводится и тратится, капитализации нет, и считать нужно по простой схеме.
Правило 72: за сколько лет удваиваются деньги при сложном проценте
Для быстрой оценки без калькулятора разделите 72 на годовую ставку, выраженную в процентах. Результат примерно равен сроку, за который вложения удвоятся при ежегодной капитализации. При 8% это 72 / 8 = 9 лет. Точный срок считается через логарифм по формуле t = ln 2 / ln(1 + r).
| Ставка | Правило 72, лет | Точный срок, лет |
|---|---|---|
| 4% | 18,0 | 17,7 |
| 6% | 12,0 | 11,9 |
| 8% | 9,0 | 9,0 |
| 10% | 7,2 | 7,3 |
| 12% | 6,0 | 6,1 |
| 14% | 5,1 | 5,3 |
| 16% | 4,5 | 4,7 |
| 20% | 3,6 | 3,8 |
Точнее всего правило работает около 8%. При низкой ставке оно чуть завышает срок, при высокой занижает. Например, при 20% правило даёт 3,6 года, а точный расчёт 3,8 года. Ту же логику можно применить к инфляции. При росте цен на 6% в год они удвоятся примерно за 12 лет.
Сложный процент по вкладу, в инвестициях и по долгам
Формула везде одна, различаются условия: по вкладу доход известен заранее, в инвестициях он не гарантирован, а по займам схему ограничивает закон.
Сложный процент по вкладу: ключевая ставка и налог
По вкладу с капитализацией работает формула, приведённая выше. Банк присоединяет начисления к вкладу раз в месяц, квартал или год. Доходность вкладов зависит от ключевой ставки Банка России.
По данным ЦБ, с 27 июля 2026 года ключевая ставка составляет 14,00% годовых (значение на 9 октября 2026 года). Максимальная процентная ставка по рублёвым вкладам в десяти банках, которые привлекают больше всего депозитов, за третью декаду сентября 2026 года была 13,055%, это тоже статистика ЦБ. Условия меняются, поэтому перед расчётом проверьте актуальные данные.
НДФЛ с вкладов берут только с той части дохода, которая выше необлагаемого лимита. Чтобы получить лимит, 1 000 000 ₽ умножают на самую высокую ключевую ставку, которая действовала на первое число какого-либо месяца этого года (ст. 214.2 НК РФ). За 2025 год, по разъяснению ФНС, лимит составил 210 000 ₽ (ставка 21%).
На 1 января 2026 года действовала ставка 16%, и это максимум на первые числа месяцев с января по октябрь. Если на 1 ноября и 1 декабря ключевая ставка не окажется выше 16%, лимит за 2026 год по этой формуле составит 160 000 ₽.
С превышения лимита берут 13%. Повышенная ставка 15% применяется только к части дохода выше 2,4 млн ₽ за год, причём порог считается по сумме доходов из особого перечня п. 6 ст. 210 НК РФ, куда вклады входят наряду с другими доходами, например с дивидендами и доходами от продажи ценных бумаг и имущества (п. 1.1 ст. 224 НК РФ). Шкала до 22% для зарплаты и других доходов основной базы к процентам по вкладам не относится.
Сложный процент в инвестициях: реинвестирование без гарантий
В инвестициях сложный процент возникает, когда купоны по облигациям и дивиденды по акциям снова вкладывают. Тогда следующий доход начисляется на большую сумму. От вклада это отличается принципиально, ведь доходность ценных бумаг заранее не известна, цены могут падать, а прошлые результаты не обещают будущих. Расчёты в этой статье с условными ставками показывают работу формулы и не являются прогнозом. Что такое облигация и купон, коротко объясняет статья «Словарь для начинающего трейдера: самые важные термины и биржевой сленг».
Сложный процент и долги: что запрещает закон
По Гражданскому кодексу условие обязательства о начислении процентов на проценты ничтожно. Исключения составляют обязательства из договоров банковского вклада и из договоров, связанных с предпринимательской деятельностью сторон (п. 2 ст. 317.1 ГК РФ). Если человек берёт заём как частное лицо, плату считают только от самого долга.
Возьмём условный долг 100 тыс. ₽ под 30% без платежей. По простой схеме он превращается в 130, 160 и 190 тыс. ₽ через один, два и три года. Если бы начисления прибавлялись к долгу ежемесячно, получилось бы 134 489 ₽, 180 873 ₽ и 243 254 ₽.
В школьных и экзаменационных задачах на кредит долг тоже «увеличивается на r%» каждый год, но там это способ посчитать равные платежи, о них ниже.
Обещания «10% в месяц»: частый признак мошеннических схем
Такие расчёты часто встречаются в рекламе сомнительных проектов. «Всего 10% в месяц» при ежемесячной капитализации дают +213,84% за 12 месяцев, «скромные 3% в месяц» дают +42,58%. Для сравнения, в октябре 2026 года ключевая ставка составляет 14%. Гарантированная доходность, которая в разы выше ставок по вкладам, должна насторожить. Компанию можно проверить в списке Банка России организаций с выявленными признаками нелегальной деятельности.
Задачи на сложные проценты с решением
Десять задач от простых к экзаменационным. Сначала попробуйте решить сами, затем сверьтесь с решением. Все условия и ответы собраны в листе для печати в формате PDF. На первой странице формулы и таблица множителей, на второй условия, на третьей ответы.
Задачи на нахождение итоговой суммы
№ 1. Вклад 200 000 ₽ открыт на 3 года под 8% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте в конце срока?
Решение. S = 200 000 × 1,083 = 200 000 × 1,259712 = 251 942,40 ₽. Ответ: 251 942,40 ₽.
№ 2. 150 000 ₽ положили на 12 месяцев под 12% с ежемесячной капитализацией. Сколько получится и насколько это больше, чем при ежегодной капитализации?
Решение. Ставка за месяц равна 1%, число периодов 12. S = 150 000 × 1,0112 ≈ 150 000 × 1,1268250 ≈ 169 023,75 ₽. При ежегодной капитализации: 150 тыс. × 1,12 = 168 тыс. ₽. Ответ: 169 023,75 ₽, на 1 023,75 ₽ больше.
№ 3. а) Товар стоил 2 000 ₽, его цену дважды повысили на 10%. Сколько он стоит теперь? б) Цену 1 000 ₽ повысили на 20%, а потом снизили на 20%. Какой стала цена?
Решение. а) Второе повышение считается от новой цены: 2 000 × 1,1 × 1,1 = 2 420 ₽, а не 2 400 ₽. б) 1 000 × 1,2 × 0,8 = 960 ₽. Цена не вернулась к исходной и стала на 4% ниже. Ответ: а) 2 420 ₽; б) 960 ₽.
№ 4. Автомобиль стоит 1 млн ₽, и его рыночная цена ежегодно снижается на 15% от прошлогодней. Сколько он будет стоить через два года?
Решение. Сложный процент работает и на уменьшение: S = 1 млн × (1 − 0,15)2 = 1 млн × 0,7225 = 722 500 ₽. По простой схеме вышло бы 700 тыс. ₽, но второе снижение считается от уже сниженной цены. Ответ: 722 500 ₽.
Обратные задачи: найти ставку или срок
№ 5. За два года вклад с ежегодным начислением вырос со 100 до 121 тыс. ₽. Под какой процент?
Решение. 100 × (1 + r)2 = 121, значит (1 + r)2 = 1,21 и 1 + r = 1,1. Ответ: 10% годовых.
№ 6. Через сколько полных лет 100 000 ₽ под 12% с ежегодной капитализацией превысят 200 000 ₽?
Решение. Нужно 1,12t > 2. t > ln 2 / ln 1,12 ≈ 6,12. Проверка: через шесть лет будет 197 382,27 ₽, это меньше 200 тыс.; через семь лет будет 221 068,14 ₽. Правило 72 даёт шесть лет, это чуть меньше точного значения. Ответ: через 7 лет.
Задачи со взносами, сменой ставки и кредитом
№ 7. В конце каждого года на счёт кладут 50 000 ₽, доход 10% начисляется и прибавляется ежегодно. Сколько будет на счёте сразу после третьего взноса?
Решение. В тысячах рублей: первый взнос пролежит 2 года, 50 × 1,12 = 60,5. Второй пролежит 1 год, 50 × 1,1 = 55. Третий только что внесён: 50. Всего 60,5 + 55 + 50 = 165,5 тыс. ₽. Ответ: 165 500 ₽.
№ 8. Вклад 300 000 ₽ открыт на два года с ежегодной капитализацией. В первый год ставка 12%, во второй банк снизил её до 8%. Сколько будет на счёте в конце срока и сколько дали бы два года по 10%, ведь среднее у 12% и 8% тоже 10%?
Решение. Множители перемножаются: 300 000 × 1,12 × 1,08 = 300 000 × 1,2096 = 362 880 ₽. При 10% оба года: 300 000 × 1,12 = 300 000 × 1,21 = 363 000 ₽. Разница 120 ₽: при сложном проценте среднее арифметическое ставок не заменяет произведение множителей 1,12 × 1,08. Ответ: 362 880 ₽; при 10% оба года 363 000 ₽.
№ 9. В июле взяли кредит 210 000 ₽. Каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по июнь нужно одним платежом выплатить часть долга. Кредит погашен двумя равными платежами за два года. Найдите платёж и общую сумму выплат.
Проценты здесь начисляются раз в год, в январе, поэтому месяцы с июля до января считаются одним периодом. Так же устроена кредитная задача в демоверсии ЕГЭ 2027 года. В ней кредит, взятый в июле на три года, гасится тремя платежами.
Решение. Считаем в тысячах рублей, платёж обозначим X. В первый январь долг станет 210 × 1,1 = 231, после платежа останется 231 − X. Во второй январь остаток вырастет до (231 − X) × 1,1, и второй платёж его обнуляет: (231 − X) × 1,1 = X. Отсюда 254,1 = 2,1X и X = 121, то есть 121 тыс. ₽.
Проверка: 231 − 121 = 110; 110 × 1,1 = 121. Ответ: платёж 121 000 ₽, всего 242 000 ₽, переплата 32 000 ₽.
№ 10. Заёмщик рассчитался с банком за два года, внеся два одинаковых платежа по 144 000 ₽. Перед каждым платежом долг вырастал на 20%. Сколько денег он занял?
Решение. Считаем в тысячах рублей. Пусть взято S. После первого начисления и платежа остаётся S × 1,2 − 144, после второго начисления и платежа ноль: (S × 1,2 − 144) × 1,2 − 144 = 0. Отсюда S = 144 / 1,2 + 144 / 1,44 = 120 + 100 = 220, то есть 220 тыс. ₽.
Проверка: 220 × 1,2 = 264; 264 − 144 = 120; 120 × 1,2 = 144; 144 − 144 = 0. Ответ: 220 000 ₽.
Сложные проценты в ЕГЭ по профильной математике
Задачи 9 и 10 устроены так же, как кредитная задача в ЕГЭ. В демоверсии ЕГЭ 2027 года по профильной математике ФИПИ такая задача стоит в первой части под номером 13 и требует только краткого ответа.
По спецификации ФИПИ, задание 13 проверяет умение моделировать реальные ситуации и решать текстовые задачи, «в том числе задачи из области управления личными и семейными финансами». Годом раньше, в 2026-м, кредитная задача шла под номером 16 во второй части, и решение требовалось расписать полностью. Номер экономической задачи в учебных материалах прошлых лет может не совпадать с нынешним.
Открыть лист с формулами и задачами (PDF, A4)
Частые ошибки при расчёте сложных процентов
- Годовая ставка без перевода в ставку за период. При ежемесячной капитализации годовые проценты делят на 12, а срок переводят в месяцы. Например, 12% годовых дают 1% за месяц.
- Проценты вместо долей. В формулу подставляют 0,12. Если подставить 12, то за три года при ежегодном начислении выйдет 50 000 × 133 = 109 850 000 ₽ вместо 70 246,40 ₽.
- Сложение процентов. Два повышения на 10% дают рост на 21%, а не на 20% (см. задачу 3).
- Раннее округление. Если округлить 1,0136 до 1,43, получится 71 500 ₽ вместо 71 538,44 ₽. Множитель лучше держать с 6 или 7 знаками после запятой.
- Эффективная ставка не учтена. 9% с ежемесячной капитализацией фактически дают 9,38% в год.
- Забытые налог и инфляция. При доходности 10% и инфляции 6% реальная доходность около 3,77%, она считается как (1,10 / 1,06) − 1. Цифры условные, они показывают сам расчёт.
Курсы: где разобраться в личных финансах и инвестициях
Посчитать сложный процент можно по формуле, а выбирать вклад, оценивать риски и планировать бюджет учат на курсах по личным финансам.
В каталоге Edlist есть раздел курсов по инвестициям, в том числе вводные программы по финансовой грамотности для начинающих. Курсы по трейдингу и криптовалютам из того же раздела, как сказано в начале, к теме статьи не относятся. Обучение в любом случае не гарантирует дохода, оно помогает понимать, как устроены финансовые инструменты и где риски. Тем, кто хочет работать с финансами профессионально, пригодится статья о том, кто такой финансист и сколько он зарабатывает.
Частые вопросы о сложном проценте
Чем сложный процент отличается от простого?
Простой процент каждый раз начисляется только на исходную сумму, а сложный начисляется на сумму вместе с уже начисленными процентами. 100 000 ₽ под 9% за три года дают 27 000 ₽ дохода по простой схеме и 29 502,90 ₽ по сложной с ежегодным начислением.
Что такое капитализация процентов?
Это присоединение начисленных процентов к сумме вклада. После капитализации следующие проценты считаются уже от увеличенной суммы, поэтому вклад с капитализацией работает по формуле сложного процента.
Какая формула у сложного процента?
S = P × (1 + r/n) в степени n×t. В ней участвуют исходная сумма P, годовая ставка r в долях, число капитализаций в год n и срок t в годах. При ежегодном начислении формула упрощается до S = P × (1 + r) в степени t.
Что выгоднее: ежемесячная или ежегодная капитализация?
При одинаковой номинальной ставке выгоднее ежемесячная. Например, 9% с ежемесячной капитализацией дают эффективные 9,38% против 9% при ежегодном начислении. Дальше выигрыш небольшой, ежедневная капитализация даёт 9,42%.
Правда ли, что Эйнштейн называл сложный процент величайшим изобретением?
Подтверждения нет. Исследователь цитат Quote Investigator проверял эту версию и не нашёл её у Эйнштейна. Самое раннее упоминание с его именем появилось в заметке Хастингса Кита («Letter From a Pensioner») в The Wall Street Journal от 25 августа 1976 года, через 21 год после смерти учёного, а сама мысль встречалась в газетной рекламе 1916 года. Фразу про «восьмое чудо света» эта проверка не разбирала, надёжного источника с авторством Эйнштейна для неё мы тоже не нашли.
Как посчитать сложный процент в Excel?
Формулу можно ввести в ячейку напрямую как =50000*(1+12%/12)^36, результат 71 538,44 ₽. Или использовать функцию =БС(12%/12;36;0;-50000) в русском Excel либо =FV(12%/12;36;0;-50000) в Google Таблицах.
Облагаются ли налогом проценты по вкладу?
Только сверх необлагаемого лимита. Он равен 1 млн ₽, умноженному на максимальную ключевую ставку ЦБ на первые числа месяцев (ст. 214.2 НК РФ). За 2025 год лимит составил 210 000 ₽, за 2026 год по этой формуле выходит 160 000 ₽, если на 1 ноября и 1 декабря ставка не превысит 16%. С превышения платится 13%. Ставка 15% применяется только к части выше 2,4 млн ₽ за год, и порог считается по сумме доходов из п. 6 ст. 210 НК РФ, куда вместе с вкладами входят дивиденды, продажа ценных бумаг и имущества и другие доходы.
Можно ли по кредиту начислять проценты на проценты?
Как общее правило, нельзя. Условие обязательства о начислении процентов на проценты ничтожно (п. 2 ст. 317.1 ГК РФ). Исключения составляют обязательства из договоров банковского вклада и из договоров, связанных с предпринимательской деятельностью сторон.
За сколько лет удвоятся деньги под 10% годовых?
Чуть больше чем за семь лет. Правило 72 даёт 72 / 10 = 7,2, а точный расчёт при ежегодной капитализации по формуле t = ln 2 / ln 1,1 даёт 7,3. Ставка условная, по вкладам и инвестициям она меняется.
Где сложные проценты встречаются в ЕГЭ?
В профильной математике есть задача на кредит или вклад. В демоверсии ЕГЭ 2027 года ФИПИ она стоит под номером 13 в первой части и требует краткого ответа, а в 2026 году такая задача была заданием 16 второй части с развёрнутым решением.
- 100 тыс. ₽ под 9% за 30 лет превращаются в 370 тыс. ₽ по простому проценту и в 1 326 768 ₽ по сложному с ежегодным начислением.
- Вклады удобнее сравнивать по эффективной ставке. 9% с ежемесячной капитализацией дают 9,38% в год.
- Срок удвоения прикидывают правилом 72, при 8% это около 9 лет.
- НДФЛ с процентов по вкладам платят только сверх необлагаемого лимита, за 2025 год он составил 210 000 ₽.
- По вкладу сложная схема законна, а в обычном займе условие о процентах на проценты ничтожно (п. 2 ст. 317.1 ГК РФ). Доходность инвестиций не гарантирована.
Материал носит информационный и образовательный характер и не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией. Все расчёты сделаны по формулам при неизменной условной ставке и не являются прогнозом доходности.
Ставки Банка России указаны по данным cbr.ru на 9 октября 2026 года, налоговые правила по ст. 210, 214.2 и 224 НК РФ и разъяснению ФНС. Источники: Банк России (ключевая ставка, статистика ставок по вкладам, список организаций с признаками нелегальной деятельности), НК РФ ст. 210, 214.2 и 224, ГК РФ ст. 317.1, демоверсия и спецификация ЕГЭ 2027 по профильной математике (ФИПИ), MacTutor History of Mathematics, NBER Working Paper 10352, Quote Investigator. Ссылки на курсы ведут в каталог Edlist, где часть ссылок партнёрские.
